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| (Bildquelle: Bildschirmfoto) |
Wenn Sie nun denken:
„Hätte er keine Unregelmäßigkeiten gefunden, dann gäbe es
diesen Artikel wahrscheinlich nicht,“ dann denken Sie richtig. Nachdem
ich in den letzten Tagen erst die
Zahlen zur Bayernwahl einem Benford Test unterzogen habe und mir
danach die
Kriminalitätsstsatistik des BKA der letzten beiden Jahre
vorgenommen habe, da dachte ich mir, warum nicht auch die Zahlen der
Bundesregierung durchtesten? Und tatsächlich, da schlummert etwas in
den Budgetposten des Bundes, das nicht so recht passen will.
Über den Benfordtest und die verwendeten Zahlen
Auch wenn ich es in
den anderen Artikeln bereits erklärt habe, hier noch einmal in
Kürze, worum es beim Benfordtest beziehungsweise dem BenfordschenGesetz geht:
In großen
Datensätzen müssen die Zahlen laut dem Benfordschen Gesetz einer bestimmten Verteilung folgen, um sie als
„natürlich“ oder „aus Zufall“ entstanden klassifizieren zu
können. Im genauen geht dabei um das relative Vorkommen der Zahlen 0-9 als
Ziffern der jeweiligen Zahlen im Datensatz. Kommt beispielsweise die
1 als erste Ziffer bei den Zahlen zu häufig oder zu selten vor, dann
ist das nicht mehr mit Zufall zu erklären. Selbiges gilt für die
relative Verteilung der zweiten Ziffern und so weiter.
„Unnatürlich“
heißt dabei, dass jemand die Zahlen mit einem bestimmten Interesse
von Hand abgeändert hat, wie etwa bei Wahlergebnissen, wenn jemand
nachträglich die Zahlen zu seinen Gunsten verändert. Eine andere
Anwendung des Benfordtests, die auch steuerliche Relevanz hat, ist
die Untersuchung der Zahlen in Unternehmensbilanzen. Falls die
Verteilung der Ziffern bei diesen jenseits der Grenze liegt, um noch
als „zufällig verteilt“ durchgehen zu können, dann bekommt das Unternehmen
und dessen Bilanzabteilung Probleme, da der Staat dann von
Bilanzbetrug ausgeht.
Das Anlegen der
Benfordverteilung an die Ausgaben des Bundes sind damit sehr
relevant, da es sich dabei ebenfalls um eine Bilanz handelt, wenn
auch um keine unternehmerische oder steuerrechtliche.
Entnommen habe ich
die Augabenposten des Bundes von der Downloadseite
von Bundeshaushalt.de, wo die Zahlen des letzten Jahrzehnts zum Herunterladen bereit stehen. Untersucht habe ich die Zahlen ab 2012
und bis 2017, allerdings ohne das Jahr 2015, da es diese nicht im
Excelformat gab.
Wer sich die Zahlen
selbst herunterladen will, der wird dort neben den Tabellen mit den
effektiven Ausgaben auch die Planbudgets finden. Die meisten Dateien
mit den tatsächlichen Ausgaben sind dabei mit einem „IST“
versehen, die auch ich verwendet habe. Wer sich die Mühe nicht
machen will und mir vertraut, der findet den von mir aufbereiteten
Datensatz hier
als SQL Datei zum herunterladen.
Der Benfordtest für die ersten vier Ziffern mit allen Zahlen
Leider ist mir nicht
bekannt, ob die Benfordverteilung die Vermischung positiver und
negativer Zahlen erlaubt, da einige Posten in der Auflistung (ca. 1%)
negativ sind, es sich also um Einnahmen handelt. Da es nur wenige
sind und auch bei anderen Benfordverteilungen positive und negative
Zahlen vorkommen (z.B. physikalische Konstanten) habe ich sie mit
inbegriffen in der Analyse.
Hier die Ergebnisse,
wobei alle Werte für das Chi-Quadrat mit gelb unterlegt sind, wenn
sie über dem erlaubten Wert liegen (1. Ziffer > 9,49; 2.-4. Ziffer >
11,07):
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| Der Benfordtest mit allen Zahlen |
Die grau unterlegten
Werte entsprechen jeweils dem Ergebnis für die erste Ziffer in dem
jeweiligen Jahr, wobei sie in allen Fällen deutlich unterhalb der
Grenze von 9,49 liegen. Eine gute Nachricht, die Bundesregierung
scheint ihre Bücher nicht auf „legal“ zu kochen.
Wie man aber auch
sieht sind die nachfolgenden Ziffern fast ausnahmslos gelb und liegen teilweise um das Mehrfache über dem
erlaubten Grenzwert. Leider weiß ich nicht, wie man statistisch
damit umgeht, ob also eine „unnatürliche Verteilung“ vorliegt,
wenn die erste Ziffer in Ordnung ist, die nachfolgenden dagegen
starke Abweichungen aufweisen oder ob das keinen Einfluss hat.
Hinsichtlich der
steuerlichen Prüfung auf Einhaltung der Benfordverteilung ist mir
ebenfalls unbekannt, ob die Finanzämter lediglich die erste Ziffer analysieren oder auch die zweite oder weitere. Vielleicht weiß das ja ein
Leser und kann den entscheidenden Hinweis geben.
Ich fand die
Ergebnisse jedenfalls überaus seltsam und hätte erwartet, dass alle
Ziffern im Bereich des zulässigen liegen und nicht nur die erste.
Mein (leicht schwammiges) Gefühl für Zahlen sagt mir auch, dass dem
eigentlich so sein sollte.
Daraufhin habe ich
mir die Datensätze noch einmal angesehen und sah, dass es einige
Ausgaben gibt, die mit mehreren glatten Nullen enden. Offenbar, so
dachte ich mir, sind da einige Budgetposten dabei, die eigentlich
keine sind, sondern lediglich Planzahlen für externe Budgets, die
noch nicht in Ausgaben umgewandelt wurden. Es macht sehr viel Sinn
diese herauszurechnen, da sie das Ergebnis ab der zweiten Ziffer
verzerren.
Der Benfordtest für die ersten vier Ziffern mit allen Zahlen außer jenen, die auf -0000 oder -00000 enden
Die folgende Tabelle
enthält nun die selbe Analyse wie zuvor, allerdings fehlen in den
Datensätzen für die einzelnen Jahre jeweils in etwa 220 Werte. Hier
das Ergebnis:
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| Der Benfordtest mit allen Zahlen außer den glatten ab 5-stellig |
Das sieht schon
einmal viel besser aus. Während in der ersten Version noch 13 der 20
Werte eine nicht mit Zufall erklärbare Verteilung aufwiesen, so sind
es jetzt noch sieben. Allerdings sind das noch immer sieben zu viel
und so habe ich mich dazu entschlossen, eine weitere Analyserunde
durchzuführen und auch alle vollen Tausender herausgenommen.
Der Benfordtest für die ersten vier Ziffern mit allen Zahlen außer jenen, die auf -000, -0000 oder -00000 enden
In dieser Analyse
fehlen in jedem Satz jeweils ungefähr 600 Zahlen, wir befinden uns
also noch immer im Bereich für robuste Aussagen. Hier die
Ergebnisse:
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| Der Benfordtest mit allen Zahlen außer den glatten ab 4-stellig |
Das Ergebnis wird
wieder schlechter. Entweder fehlen nun zu viele Zahlen im Datensatz
oder aber es gibt darin noch immer zu viele Planzahlen und man müsste weitere Werte rausstreichen.
Wäre es aber
ersteres, dann müsste man sich fragen, warum der Datensatz mit
maximaler Größe eine geringere natürliche Integrität aufweist als
jener mit dem ersten Filter, sowie warum sich ausgerechnet die
glatten Zahlen im sechsstelligen Bereich positiv auswirken, während
die kleineren glatten Zahlen das Gegenteil bewirken. Hinzu kommt,
dass die weggefallenen Zahlen nicht mehr als zehn Prozent ausmachen.
Eigentlich dürfte das den einzelnen Datensätzen angesichts ihrer
Gesamtgröße nicht so viel ausmachen.
Daher habe ich die
Schere noch einmal angesetzt und sukzessive alle glatten Zahlen
herausgenommen bis runter zu den Zweistelligen. Eine Tabelle dafür
ist aber nicht notwendig, da sich das Ergebnis nicht mehr verbessert
hat. Die jeweiligen Chi-Quadrat Werte liegen jeweils bei anderen
Ziffern über dem Grenzwert, pro Filter aber ist es immer mindestens
die Hälfte, die zu stark vom Erwartungswert abweicht.
Die große Frage lautet: Was stimmt hier nicht, meine Rechnung oder die offiziellen Zahlen der Bundesregierung?
Beim Herumbasteln an der Analyse kam in mir ein Verdacht auf. Was ist, wenn die Bundesregierung um die
Benfordverteilung weiß und nachträglich, wenn die fertigen Zahlen
bereits stehen, ein Programm darüber laufen lässt, um
festzustellen, wo sie mit welchen Zahlen nachbessern muss, um bei der
ersten Ziffer unter den maximal erlaubten Grenzwert zu kommen.
Wie die Analyse
zeigt gibt es einige Posten für externe Budgets, die nach Gusto
nachträglich so hingepfuscht werden können, dass es am Ende
aussieht als hätte niemand die Bilanz manipuliert.
Warum sie sich dabei
nur auf die erste Ziffer beschränken kann ich allerdings nicht
beurteilen. Möglich ist, dass es zu komplex wird, auch die
nachrangigen Ziffern auf „zufällig entstanden“ zu bürsten.
Alternativ könnte es auch sein, dass in der Regel nur die erste
Ziffer analysiert wird und es daher nicht für notwendig erachtet
wird, weitere die Verteilung der hinteren Ziffern ebenfalls zu
korrigieren.
Wie oben geschrieben
könnte es nicht zuletzt es auch sein, dass wirklich nur die
Verteilung an der ersten Ziffer relevant ist und sobald diese
unterhalb der Schwelle liegt, dann können die nachfolgenden Ziffern beliebig verteilt
sein. Ich kann nicht beurteilen, ob dem auch so ist,
mein Gefühl aber sagt mir, dass der Datensatz bei allen Ziffern im
grünen Bereich liegen muss.
Der Vollständigkeit
halber sollte ich noch erwähnen, dass die Schwachstelle auch bei mir
liegen könnte und meinem mangelnden Talent für statistische
Analysen oder sonstige Übertragungs- oder Programmierfehler.
Vielleicht
sollte mal ein Experte in der Materie
über die Zahlen gehen und den Benfordtest anwenden.
Anhaltspunkte für Unregelmäßigkeiten gibt es jenseits der ersten
Ziffer einige.